Хочу познакомиться с инвалидом

а = — тг/2, 6 = 2. 64/3 9/2 9
9/4 2>/2-2 9/4 9/4 а = 9Ь2/6 — 1 при 0 — 1. а ^ — 1/3. О 6. О 2. 0; x = у = 1 при a = —1, 0; при остальных a решений нет. 2250 у/а2/2-Ь2. 15/2 -1 ^ x ^ 1, 4/3 —а — при а ^ а + 1 при —3 0 при а = -а-3 при —2 а + при а ^ 2258 а) 2/3} б) 4>/5/15. 2259 х хочу познакомиться с инвалидом тг/10 + тгп/5, хочу познакомиться с инвалидом(—l)fcTr/15 + тгА:/5. 2260 х 3 — у/а2 + 5а + 6 при а ^ —3, а ^ х € К при остальных а. -(5 + л/13)/2 7. 2279 х = 1/4, 1/2. 2280 х = у = 1. 2281 — 4 2 + у/2. 2295 25°. 2296 2/11 2297 х 2. 2318 хочу познакомиться с инвалидом = 1, у = 1/2. 2319 х ^ — 2, х > 2. 2320 2 2321 х = ±тг/2, 5тг/6. 2322 9\/15/4. 2323 а 1/2. x = 3, log2(3-\/7). a) 1 : 3; 6) arcsin(l/>/S). a) 2 : 3; б) 2 ч 48 мин. 5
-1/3 11. 2371 х = 0. 2372 1 2373 х = 2тгп. 2374 х = 2. 2375 х 0. 2415 x = — Зтг/2, 5тг/2, 0 ^ х 3/2. 2424 7тг/12. 2425 х = 1. 2428 а > 3/2. 2432 х = — тг/2 + 2тгп, 2433 х 7. 0 1 при а 1; остальных а корней нет. х = ±тг/3 + тгп. х ^ — 2/3, х ^ 1/2. log5 626 — 4 1 при a хочу познакомиться с инвалидом 1/2; х —2 при а ^ —2; х a при — 2 3. 2471 Зч/2, 7/2 (две), 9/2 (две). 2472 8 2473 1 7/4. 2476 51/100 2477 х = 144 — 1/3. х = тг/3 + 2тгп, х = — тг/9 + 2тгА:/3. х ^ хочу познакомиться с инвалидом, — 3 0 > Ь; -/» ^f при -«- ПРИ а ^ О О, Ь ^ 0. 2589 х = у = 2, z = — 2. 2590 Да. 2591 х = 0, 2. 2592 500 2593 4 21. 2594 (-2 — 5) 5 2595 х = 2, 4 © МЦНМО, 2010. ш
Введение Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются: — показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ; — проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ; — развитие представлений учащихся об основных геометрических хочу познакомиться с инвалидом и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения; — повышение вычислительной культуры учащихся. Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую хочу познакомиться с инвалидом, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления. Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии. Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один бал начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один бал начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный хочу познакомиться с инвалидом. Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и хочу познакомиться с инвалидом хочу познакомиться с инвалидом каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур. В случае успешного решения этих хочу познакомиться с инвалидом можно переходить к выполнению заключительных диагностических работ, содержащих задачи разных типов. В конце пособия даны ответы ко всем задачам. Введение хочу познакомиться с инвалидом, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии в 10—11 классах, а также при организации обобщающего повторения или самостоятельных занятиях геометрией. Диагностическая работа 11 В единичном кубе A. Dj найдите угол между прямыми АВг иВСг. /
D /1 12 В единичном кубе A. Dj найдите угол между прямыми Т)АХ Pi Q \
\ \
\ \
\ N
\ \
\ \
\ \
13 В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми ADl и СЕЪ где Dj и Е1 —соответственно середины ребер АгСг и ВгСг. Диагностическая работа 21 В правильной шестиугольной призме A. F1} все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью ВССг. >
А s:_ 4
^с 22 В правильной шестиугольной призме А. . Fj, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой ССг и плоскостью BDEX. 23 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где Е — середина ребра SC. Диагностическая работа 31 В правильной шестиугольной призме А. ? ъ все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFFX и Y1 л
El 32 В единичном кубе A. DJ найдите тангенс угла между плоскостями 33 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1D1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВг иВАгСг. -А 8
Диагностическая работа 41 В правильной шестиугольной призме A. Fl, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой DiFi. Хочу познакомиться с инвалидом
FV к
\ A1 A, !

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!

Хочу познакомиться с инвалидом девушкой

0. Последнее невозможно, так как т4 Щ — 1 (mod хочу познакомиться с инвалидом девушкой), если т4 + п4 = 0 (mod 13) и п 2 0; поэтому, учитывая, что 13 — простое число, получаем, что существует k e N9 для которого nk = 1 (mod 13), но тогда (mk)4 = = -(nk)4 = — 1. Итак, х = у = 0 (mod 13) и аналогично х = у = 0 (mod 37). Далее см. предыдущее решение. • 375 (Решение Н. Седракяна. ) Обозначим через а, &, с, d, е и / длины сторон АВ, ВС, хочу познакомиться с инвалидом девушкой, DE, EF и FA соответственно. Отметим, что противоположные углы шестиугольника равны (Z А = Z D, Z В = Z Е, ZC = Z F). Опустим перпендикуляры АР и DQ на ВС, AS и DR на FE (рис. 37. 5). Тогда PQRS — прямо — 157 в ь со S F e E R Рис. 37. 5 угольник и BF > PS = QR. Следовательно, 2BF >
>PS + QR. Отсюда 2BF > (a sin В + / sin F) + (c sin С + d sin E) = = (a sin В + / sin C) + (c sin С + d sin B). Аналогично: 2DB > (с sin A + Ь sin B) + (e sin В + / sin A), 2FD > (e sin С + d sin A) + (a sin A + b sin C). Согласно теореме синусов BF DB FD A 2sinA* С 2sinC ^ 2sinB* поэтому 4(RA + RC + RE) > ^Л^ (a sin В + / sin С 4 — с sin С + + d sin B) + — r-= (c sin A + & sin В + e sin В + / sin A) + + — г—g (e sin С + d sin A + a sin А + & sin С) fsinB л sinA^ /fc v (sinB и, хочу познакомиться с инвалидом девушкой, RA + i? c 4 — i? ^ > ^, что и требовалось доказать. Равенство достигается тогда и только тогда, когда ZA = ZB = ZCh BF 1 ВС, . , т. е. когда шестиугольник является правильным. 158 я я 1
id ‘ — fa. Рис. 37. 6 • 376 (Решение Е. Рудо. ) Еслир и q имеют общий делитель 5, то из того, что х0 = 0 и либо хг = xt _j +р, либо х% = л:, _1 — g, следует, что все числа хь делятся на s. Разделив на s числа р и д, а также все члены последовательности, получим новые числа р’ nq’ и последовательность {д$’ }*в 0, удовлетворяющие условию задачи. Поэтому задачу достаточно решить для взаимно простых чисел р и д. Представим число xk как 0 + а^р — рлд, где ak — число индексов ? , для которых xt — х% _х = р, а рл — число индексов *, для которых х^ — х% _х = — д. При этом ak + рл = ft. Тогда х„ = aj? — png = 0, т. е. ос^ = = рлд. Так как числа р и q — взаимно простые, то ап делится на q. Отсюда ап = qm, m e N, значит, Рд = рт, тогда an + pn = т(р + q) = /г > р + q. Следовательно, m > 1, т. е. т > 2. Рассмотрим таблицу размера (an + 1) X хочу познакомиться с инвалидом девушкой(рд + 1) клеток и всю ее, кроме правого столбца и нижней строки, разобьем на ттг2 прямоугольников размерами р X q (рис. 37. 6). Последовательности {**}|*=0 сопоставим путь движения фишки по клеткам из левого верхнего угла S таблицы в правый нижний F, причем если xt — xt _ х =р, хочу познакомиться с инвалидом девушкой шаг с номером происходит по горизонтали вправо, а если xt — xt _ г = — g, то по вертикали вниз, в центр соседней клетки. После ап = qm шагов вправо и рд = рт шагов вниз фишка перей — 159 дет из левого верхнего угла в правый нижний. Покажем, что за время движения фишка побывает на двух клетках, получающихся одна из другой параллельным переносом на tq вправо и tp вниз (t e N, t ft = —«>
г) 0, 7г/ — (0, 2* — 0, Зг/) хочу познакомиться с инвалидом девушкой 0, 2*, если * = 3, 245, у = — 0, 14. о
0126 a) 3(2* + у) — 4(2г/ — *), если * = 0, 2, у = -~; zx 6 u\ 4\(x-±u\ если*- -, и — 1 — -=X — — гтУ — «* 77х «Б^У > если * — Л> у — 1, в) 2(4а — 0, 5ft) — (За — 7ft), если а = хочу познакомиться с инвалидом девушкой, 4, хочу познакомиться с инвалидом девушкой = ¦«; r) — 6f|а — Ift 1 + 4(0, 75а — i если а = — 1, ft = |. о 1. 27. Пусть а см и Ь см — длины сторон прямоугольника, Р см — его периметр, S см2 — площадь. Заполните таблицу: а
b Р
S 1
1 2
35 4
12 2
14 1
3 7
3 12 36 08 048 2
9 4
ol. 28. Хочу познакомиться с инвалидом девушкой, что а + Ь = 10, с = 7. Найдите: a + b + с ч 7(а + Ь) + 2с г) v Д— в) г) ol. 29. а) Если а — Ь = 12, то чему равно Ъ — а? б) Если — = 3, то чему равно — г? в) Если с — d = 0, то чему равно d — с? г) Если — г = 0, 3, то чему равно —? о 1. 30. Сравните значения выражений а2 — Ъ2 и (а — b)(a + 6), если: а) а = 17, Ъ = 13; в) а = — 13, Ь = — 5; б) а = — 15, Ъ = 12; г) а = 5, Ь = — 4. а2-Ъ2 о 1. 31. Найдите значения выражений — ио + й, если: а —о а) а = 1, Ь = 2; в) а = 1, 4, 6 = 1; б) а = 3, 6 = 1; г) а = — 3, 6 = 1. 0132 Вычислите -. г; г, если: {х + у)(х-у) а) х = 29 у = 3; в) х =-2, у = 0; 6)Х= ЬУ= 1; г) jc = 1, 3, z/=-0, 5. 0133 Сравните значения выражений х2 — 2ху + у2 и (х — у)2, если: а) х = 8, у = 3; в) * = — 10, z/ = — 2, 6; б) * = 7, 6, у = — 1, 4; г) * = — 1, 5, у = 3. о 1. 34. Найдите значения выражений и а — 6, если: а-6 а) а = — 13, Ь = 12; б) а = 2, 4, 6 = хочу познакомиться с инвалидом девушкой, 3; в) а = — 3, 5, Ъ = — 2, 5; г) а = 7, 4, 6 = — 3, 6. При каких значениях переменных имеет смысл выражение: 135 а) х2 + 5; б) -; в) 1у2 + 8; г) ? Я DO 136 а) —; б)—; в) —; г) б); в) ; г) хочу познакомиться с инвалидом девушкой 138 Значение дроби %- = 0. Что можно сказать о дроби —? о а Ответ объясните. о 1. хочу познакомиться с инвалидом девушкой. В начале года был сделан вклад в банк на сумму а р. Банк дает р% годовых. а) Составьте выражение для вклада в конце третьего года хранения. б) Какая сумма будет на счету вкладчика в конце третьего года хранения, если а = 10 000, р = 10%? 140 Найдите последнюю цифру числа а: а) а = 213 488 204 317; б) а = 1234 2345 3456 4567. Вычислите наиболее рациональным способом: 0141 а) 28 387 + 613 997 — 996 613; б) 41 514 — 1275 514 + 1274 514.

Хочу познакомиться с инвалидом

Хочу познакомиться с итальянцем

Решите уравнение Решение. Воспользуемся свойствами степеней и приведем левую часть уравнения к виду — f Гзр /
3Г’~* Г3! 2 * Г3! , б 0 = т > поэтому х + 1— = 2. Умножим обе части уравнения на х * О (обычно это действие коротко записывают так: х + 1 — = 2|х**0) хочу познакомиться с итальянцем решим получившееся квадратное уравнение: хг — х — 6 = 0; х12 = l + 24 х, = —2, jc2 = 3. Ответ: — 2; 3. Пример 3. Решите уравнение Решение. Запишем основание степени, стоящей в левой части уравнения, в виде обыкновенной дроби: 25бУ хочу познакомиться с итальянцем J Так как тт = 1т 64 =f-T то 3-Я-9 -9 хочу познакомиться с итальянцем! ) lh/x=ll; Vx=l; х=1. Ответ: 1. Решите самостоятельно уравнения 1 73х=343. (Ответ: 1. ) (Ответ: 0, 25. ) з. 4 ^=— = 8; 4х (Ответ: 8. ) (Ответ: — 1; 3. Хочу познакомиться с итальянцем) 5 Щ =(3, 24)2i/7-5. (Ответ: I. ) 6 (02)х2 — 52х+2 ={-] ¦ (Ответ: — 2; 4. ) 7 114*1 =22*+6 8
(Ответ: — 1; 3. ) (Ответ: — 2. ) Уравнения вида ат = 1 и а/(х) = а* — это так называемые простейшие показательные уравнения. Решая показательные уравнения, мы стремимся преобразовать их к простейшим. Уравнения вида Ахатх+* +А2атх+Л Уравнения вида = В * +А2атх+Р2 +. где А19А2, ->Ап> в> а>т> Р\> Р» •••» Рп~ числовые коэффициенты, решаются следующим образом. Среди степеней а»**»; а™*»2; . аш+Ря9 как правило, выбирается степень с наименьшим показателем и выносится за скобки, затем вычисляется сумма, которая осталась в скобках. После этого число В, стоящее в левой части, следует разделить на эту сумму. В итоге уравнение сводится к виду af(x) = хочу познакомиться с итальянцем) (g(x) может быть и логарифмическим выражением). Пример 1. Решите уравнение 3х»2 — 3х»3 =6. Решение. 3*-2-3*-3=6; Зл»3(3-1) = 6; 3х»3 =3; jc — 3 = 1; х = 4. Ответ: 4. Пример 2. Решите уравнение 2JC+1+32x-1-52x+6 = 0. Решение. 2*+1+ 3. 2х»1-5-2*+6 = 0; 2х-! (22+3-5. 2) = — 6; 2×4(-3) = — 6; 2хЧ=2; х — 1 = 1; х = 2. Ответ: 2. Пример 3. Решите уравнение 23Vx+3. 23Vx4=20. Решение. 23Vx+323Vx»1 =20; 23Vx4(2+3) = 20; Ответ: 1. СОВЕТЫ К УРОКУ 37 Решите самостоятельно уравнения 1 4х»3 + 4х =65. 2 Зх+2-Зх=72. 3 7-5х-5х+2=-450. Хочу познакомиться с итальянцем 216х-24х-42х-2=15. 1
5 93+х+32(х+|)=738 81 (Ответ: 3. ) (Ответ: 2. ) (Ответ: 2. ) (Ответ: 1. ) (Ответ: — 2. ) 6 23х +23x»‘ + 23х»2 +23(х-° =120. (О т в е т: 2. ) хочу познакомиться с итальянцем вида = bf(x) Эти уравнения сводятся к первому виду. хочу познакомиться с итальянцем, стоящее в левой части, делится на правую часть (или наоборот). Так как показатели степеней равны, то частное степеней есть степень частного, а справа (или слева) остается единица. Пример 1. Решите уравнение 5х»5 =3Х»5. Решение. 5Х»5=3Х»5; [-) =1; х-5 = 0; Ответ: 5. х+2 х+2 Пример 2. Решите уравнение 7 4 = 5 2 . Решение. Показатели степеней, стоящих в левой и правой частях уравнения, не равны. Однако правый показатель — это удвоенный левый: 2 х + 2___х + 2_ ‘~~4~~~2~~* Поэтому мы можем преобразовать данное уравнение следующим образом: Ответ: — 2. х = — 2. Пример 3. Решите уравнение Решение. Перенесем степени с основанием 3 в правую часть, а остальные — в левую: Слева и справа вынесем степень с наименьшим показателем за скобки: Если мы разделим обе части уравнения на 12, то приведем его к нужному нам виду: 4 2-3 = 3″~>. 4J:12; 4 2 Теперь осталось самое простое: 2х — Ответ: —. 4
Решите самостоятельно уравнения 1 43*=82\ (Ответ: 0. ) Ш’- 0 и перенесем число 3 в левую часть уравнения. Получим: / = — 15 /2 = 25 Так как / > хочу познакомиться с итальянцем, то второй корень не подходит, поэтому 5х = 25; 5х = 52; х = 2. Ответ: 2. Решение примера 2 запишем более кратко. Пример 2. Решите уравнение З.

Хочу познакомиться с инвалидом девушкой

Хочу познакомиться с красивой девушкой

Отсюда следует, что ABE = FLN (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и, значит, прямоугольные треугольники ABE и FLN подобны. Из подобия следует, что т=\ю. , или J*B-. Таким образом, | АВ \ = О
Ц1 О
Совер — 212 4/а шенно аналогично доказывается, хочу познакомиться с красивой девушкой | CD | = -^-. Подставляя найденные значения | AB\t \CD\, h в равенство (4), находим, что S Ответ: S? о
4 Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств ( х+\>\, ( 0 0 справедливо для всех х, кроме тех, для которых *2 + *—6 = 0, т. е. кроме х = 2 и х = —3. Теперь очевидно, что вторая система хочу познакомиться с красивой девушкой решений не имеет. Множеством решений исходного неравенства является объединение множеств решений первой и второй системы, т. е. промежуток 0 n? Z; *=5-+^, А;€г. 2. 16 ч; ^ ч. 4 ио о 4/3 3 Длина каждой стороны параллелограмма равна -^-. 4. 0 о для любого действительного числа х, то /’ (х) положительна при х 1/3 и равна нулю при ж =1/3. Следовательно, на интервале (— оо, 1/3) функция f (х) возрастает, на интервале (1/3 +оо) убывает, и так как она непрерывна в точке х=1/3, то точка х = 1 /3 является точкой максимума. Ответ: точка дс«1/3—точка максимума; на промежутке (— оо, 1/3) функция возрастает, на промежутке (1/3, +оо) убывает. 3 хочу познакомиться с красивой девушкой решение. Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую хочу познакомиться с красивой девушкой на две области: первую, в которой 216 и вторую, в которой sin* | = — ) АВ\, то из подобия треугольников CED и BE А получаем, что \СЕ\=-^\ВЕ\ = = |ВС| = & и \DE\ = ±\AE\ = \AD\ = j\AB\t откуда \АВ\ = \АЕ\. Следовательно, треугольник ВАЕ равнобедренный и АС его медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так: Sbab= j I AC 11 BE I = j — a-2b = ab. Так как CD является медианой в треугольнике АСЕ и так как высоты треугольников ECD и DC А равновелики, то и их площади равны. Далее, так как площадь треугольника ЕСА равна половине площади треугольника ABE, то площадь треугольника CDE равна ~ аЬ. Площадь трапеции 217 ABCD равна разности площадей треугольников ABE и DCE, т. е. пло — 1 t 3 щадь трапеции равна ао—-j-ab = — j-ab. Замечание. Площадь треугольника CDE можно было бы вычислить с помощью теоремы об отношении площадей подобных многоугольников: так как коэффициент подобия треугольников CDE и ВАЕ равен 1 о 1 ab , 13 — ТО SqDE~^ $ВАЕ = -? и SABCD = ab — «J» fl^ = f fl^* Ответ: — г-ab. 5 Обозначим через * число рядов в роте при прибытии роты на парад. Численность роты равна 24* солдат. После перестройки роты рядов стало *—2 а число солдат в новом ряду стало 26+(*—2). Для парада осталось (хочу познакомиться с красивой девушкой) (24+*) солдат. Число солдат, не участвовавших в хочу познакомиться с красивой девушкой: 24*—(*—2) (24+*) = — *2+2*+48 хочу познакомиться с красивой девушкой(2) Корни квадратного трехчлена — *2+2*+48 есть *i = хочу познакомиться с красивой девушкой 6 и *2 = 8. Значит, выражение (2) положительно при —6 0, *—1 > 0, *+5/2 > 0, т. е. ОДЗ есть промежуток 1 , 2=2. 3. C. 10 кг; 69%. V 3 / Вариант 4. 1. * = ~(6* db 1), k ? Z; x= ^-, n ? Z. 2. 0 О* Таким образом, данная функция монотонно возрастает хочу познакомиться с красивой девушкой множестве х 4—неравенство у’ (х) > 0. Тан хочу познакомиться с красивой девушкой функция у (х) непрерывна в точке дг = 4# О 4 & ~зв то отсюда следует, что: 1) хочу познакомиться с красивой девушкой области 2 2 равно #(4) = 5. Поскольку точка х = 4 содержится в множестве (2, 5J* то у (fit) будет также и наименьшим значением у (х) хочу познакомиться с красивой девушкой области (2, 5]. Таким образом, наименьшее значение у (х) на отрезке [0, 5] равняется меньшему из чисел y{0)t y(4)t т. е. Хочу познакомиться с красивой девушкой ^(0) = 1. Приведем график функции у (*), хотя это и не требуется (рис. 69)- Ответ: ут\п = у (0) = 1. 222 3 Данное уравнение заменим равносильным ему уравнением = (yr’3 — l)cos2*+sin2*+cos2*. Очевидно, что решения этого уравнения удовлетворяют условию cos х Ф 0; поэтому, разделив обе части его на cos2*, получим уравнение или равносильное исходному. Квадратное уравнение z2—(]/»^+l) z+/»3 = 0 имеет корни Zi=l, 22= У~3. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и
Решая эти простейшие уравнения, получаем ответ задачи. Ответ: дс = я/4+ял, п ? Z; x = n/3+nkt k ? Z. 4 Легко найти высоту трапеции (рис. 70): хочу познакомиться с красивой девушкой = \ AD\*&inDAB = = 3—^r—=—? хочу познакомиться с красивой девушкой. Обозначим искомую площадь треугольника ВСЕ ($все) через х и площадь треугольника ABE (S^bb) через у. Тогда Углы ЕАВ и ECD равновелики как накрест лежащие при параллельных прямых А В и DC и секущей АС. По той же причине равновелики углы ЕВА и EDC. Таким образом, треугольники ABE и CDE подобны (по двум углам). Коэф* ^ Р |CD| 24 4 р фициент подобия равен =—=-=-. Сле — | АО | dU О довательно, Ifi Рис. 70. Легко видеть, что x^-nry=z^BCE~{‘^EDC==^BDC==:»o’^l’\ CD l = «o* * о * 24= 18 Таким образом, получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 45 х+У Выражая у через к из первого уравнения и подставляя найденное выражение во второе уравнение, после простых вычислений находим, что Ответ: 10 Y~Z см8. 223 5 Первое решение. Перепишем первое уравнение системы так: 10*2— (2^+38) х+Ьу2—6у+4\ = 0. Если (x9f у0)—решение данной системы уравнений, то квадратное уравнение 10*2—(2^0+38) jc+5^-6^0+41 =0 имеет корень ж = *0. Значит, дискриминант D этого уравнения неотрицателен. Так как то из неравенства —4*49«(у0—1)2^0 находим, что уо=1. Это значит, что х0 является корнем уравнения Юл:2—40д:+40 = 0, т.

Хочу познакомиться с итальянцем

Хочу познакомиться с лесбиянкой

2 a(47r/3-v/3)2/4; 25/4 (тг/6; тгл/3/6 + 1/2). 6
у = — х + 5/2. у = ±уДх + уД. а = — тг/2, 6 = 2. Хочу познакомиться с лесбиянкой 9/2 9 хочу познакомиться с лесбиянкой
2>/2-2 9/4 9/4 а = 9Ь2/6 — 1 при 0 — 1. а ^ — 1/3. О 6. О 2. 0; x = у = 1 при a = —1, 0; при остальных a решений нет. 2250 у/а2/2-Ь2. 15/2 -1 ^ x ^ 1, 4/3 —а — при а ^ а + 1 при —3 0 при а = -а-3 при —2 а + при а ^ 2258 а) 2/3} б) 4>/5/15. 2259 х = тг/10 + тгп/5, (—l)fcTr/15 + тгА:/5. 2260 х 3 — у/а2 + 5а + 6 при а ^ —3, а ^ х € К при остальных а. -(5 + л/13)/2 хочу познакомиться с лесбиянкой. 2279 х = 1/4, 1/2. 2280 х = у = хочу познакомиться с лесбиянкой. 2281 — 4 2 + у/2. 2295 25°. 2296 2/11 2297 х 2. 2318 х = 1, у = 1/2. 2319 х ^ — 2, х > 2. 2320 2 2321 х = ±тг/2, 5тг/6. 2322 9\/15/4. 2323 а 1/2. x = 3, log2(3-\/7). Хочу познакомиться с лесбиянкой) 1 : 3; 6) arcsin(l/>/S). a) 2 : 3; б) 2 ч 48 мин. 5
-1/3 11. 2371 х = 0. Хочу познакомиться с лесбиянкой 1 2373 х = 2тгп. 2374 х = 2. 2375 х 0. 2415 x = — Зтг/2, 5тг/2, 0 ^ х 3/2. 2424 7тг/12. 2425 х = 1. 2428 а > 3/2. 2432 х = — тг/2 + 2тгп, 2433 х 7. 0 1 при а 1; остальных а корней нет. х = ±тг/3 + тгп. х ^ хочу познакомиться с лесбиянкой, х ^ 1/2. log5 626 — 4 1 при a = 1/2; х —2 при а ^ —2; х a при — 2 3. 2471 Зч/2, 7/2 (две), 9/2 (две)хочу познакомиться с лесбиянкой. 2472 8 2473 1 7/4. 2476 51/100 2477 х = 144 — 1/3. х = тг/3 + 2тгп, х = — тг/9 + 2тгА:/3. х ^ — 6, — 3 0 > Ь; -/» ^f при -«- ПРИ а ^ О О, Ь ^ 0. 2589 х = хочу познакомиться с лесбиянкой = 2, z = — 2. 2590 Да. 2591 х = 0, 2. 2592 500 2593 4 21. 2594 (-2 — 5) 5 2595 х = 2, 4 © МЦНМО, 2010. ш
Введение Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются: — показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ; — проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ; — развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения; — повышение вычислительной культуры учащихся. Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления. Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии. Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один бал начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один бал начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный ответ. Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур. В случае успешного решения этих задач можно переходить к выполнению заключительных диагностических работ, содержащих задачи разных типов. В конце пособия даны ответы ко всем задачам. Введение Отметим, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии в 10—11 классах, а также при организации обобщающего повторения или самостоятельных занятиях геометрией. Диагностическая работа 11 В единичном кубе A. Dj найдите угол между прямыми АВг иВСг. /
D /1 12 В единичном кубе A. Dj найдите угол между прямыми Т)АХ Pi Q \
\ \
\ \
\ N
\ \
\ \
\ \
13 В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла хочу познакомиться с лесбиянкой прямыми ADl и СЕЪ где Dj и Е1 —соответственно середины ребер АгСг и ВгСг. Диагностическая работа 21 В правильной шестиугольной призме A. F1} все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью ВССг. >
А s:_ 4
^с 22 В правильной шестиугольной призме А. . Fj, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой ССг и плоскостью BDEX. 23 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где Е — середина ребра SC. Диагностическая работа 31 В правильной шестиугольной призме А. ? ъ все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFFX и Y1 л
El 32 В единичном кубе A. DJ найдите тангенс угла между плоскостями 33 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1D1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВг иВАгСг. -А 8
Диагностическая работа 41 В правильной шестиугольной призме A. Fl, все ребра которой равны 1, хочу познакомиться с лесбиянкой расстояние от точки А до прямой DiFi. А
FV к
\ A1 A, ! >- -—— в
p \
\ 42 В единичном кубе хочу познакомиться с лесбиянкой. D1 найдите расстояние от точки хочу познакомиться с лесбиянкой до прямой BDX хочу познакомиться с лесбиянкой.

Хочу познакомиться с красивой девушкой

Хочу познакомиться с лезбиянкой

Таким хочу познакомиться с лезбиянкой, достаточно рассмотреть три случая: ‘ С:3, а>3; Сразу отпадает случай А. Случай В дает одно целое значение для параметра а = 3. Рассмотрим последний случай С: я >3, Достаточно найти общие корни для целых значений параметра а > 3. Из функциональных соображений ясно, что модуль второго выражения возрастает быстрее, чем модуль первого. Поэтому общие значения два выражения могут принимать для достаточно небольших значений параметра а. Причем достаточно рассмотреть такие значения параметра а9 для которых под корнем будут стоять полные квадраты, так как второе выражение принимает только целые значения. Первый возможный случай: хочу познакомиться с лезбиянкой = 5 — оказывается счастливым для обоих выражений, взятых со знаком плюс: хочу познакомиться с лезбиянкой случай: я = хочу познакомиться с лезбиянкой — дает для первого выражения х = 1±6, а для второго — х = 4±13. Таким образом, для этого и следующих значений параметра а хочу познакомиться с лезбиянкой выражение дает по модулю значения большие, чем первое, и общих корней больше нет. Сумма найденных двух целых значений равна 3 + 5 = 8. Ответ. 8. 178 Задача 3. 20. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3]. ) Пусть jci и х2 — действительные, различные корни уравнения х2 — (а — хочу познакомиться с лезбиянкой)х + 5 — а = 0 . Рассмотрим множество хочу познакомиться с лезбиянкой тех значений параметра а, для которых выполнено условие х2 + х% 0, [а 4, 4
х(х хочу познакомиться с лезбиянкой 8) = -(* + 4)х, х(х — 8) = (а + 4)(х — 8), х, =0, (*-8) = 0, дг2=4-а; хочу познакомиться с лезбиянкой
Таким образом, две вертикальные прямые и два луча с общей точкой разбивают координатную плоскость на 6 областей: А, В, -24 3) Расставим знаки внутри областей в смысле выполнения или невыполнения заданного неравенства ф-8)>
181 Для этого выберем точку, принадлежащую области D: (1; 0), и подставим ее координаты в исходное неравенство, получили: — 7 2. Далее по условию задачи второй член геометрической профессии с отрицательным знаменателем будет отрицательным числом, хочу познакомиться с лезбиянкой есть соответствующая точка «прыгнет» по горизонтали налево хочу познакомиться с лезбиянкой область В9 а потом, в случае третьего члена, «прыгнет» хочу познакомиться с лезбиянкой направо — в область F и т. д. 5) Найдем критический случай, когда точка х = 6, лежащая на высоте а, не может «прыгнуть» дальше границы между областями А и В при «максимальном прыжке» 6q = — 24 = 4 — а, который дает «критическое» значение параметра а хочу познакомиться с лезбиянкой 28. Таким образом, область допустимых значений параметра а: [2; 28). Найдем сумму всех целых чисел, принадлежащих этому 2+28 промежутку: 2 + 3 +. +28 = 27 = 405. Ответ. 405. Задача 3, 22. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3]. ) Найдите целое значение параметра а (или сумму таких значений), при которых множество решений неравенства x(jc + 2)2 >4(х + а) + дх содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным -5 и разностью, меньше или равной 11. 182 Решение. А: В: — Решим сначала неравенство, которое после элементарных преобразований приводится к виду: хъ + 4х2 — ах — 4а > О, или (х2 — я)(х + 4)>0. Воспользуемся обобщенным методом интервалов. Очевидно, что возникают два случая: А:049 для которых решениями будут следующие множества промежутков: А:1-4;-у[а 1иГл/а;+«>| и B:\-yfa\-4luj>/a;+ooj соответственно. Ясно, что первый случай не удовлетворяет условию задачи, по которому первый член прогрессии а = — 5 принадлежит множеству А. Остается случай В, для которого должна выполняться следующая система неравенств: хочу познакомиться с лезбиянкой, 0 9. С другой стороны, длина «прыжка» ограничена условием d a ах = —. Для нахождения второго критического значения параметра заметим, что это будет случай появления десятой точки с целой абсциссой 10: 120 *10 =10 |10-4| хочу познакомиться с лезбиянкой 0, 05а2(10 + 3)я2 = —. Таким образом, допустимые значения параметра а должны принадлежать проме — жутку: —; — . В него входят целые числа: 4, 5, . , 9, сумма которых будет равна 39. Ответ. 39. Задача 3. 24. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3]. ) Найдите целое значение параметра а (или сумму таких хочу познакомиться с лезбиянкой, если их несколько)хочу познакомиться с лезбиянкой, при которых уравнения имеют корни, причем число корней в этих уравнениях одинаковое. 185 Решение. у = 0? 5ах + 3 1) Рассмотрим первое уравнение с графической точки зрения. Правая часть определяет пучок прямых, проходящих через общую точку (0; 3). Из графика хорошо видно, что возможны четыре частных случая, когда число точек пересечения прямой с графиком левой части хочу познакомиться с лезбиянкой равно 1, 2, 3, 4 соответственно. 2) Первый случай может иметь место только для ситуации, когда точка (0; 3) пересечения прямой с параболой будет точкой касания. Проверим этот случай, который должен соответствовать с алгебраической точки зрения случаю, когда квадратное уравнение, имеющее одним из корней х = 0, х2 — 4дг + 3 = = 025ох + 3, будет иметь нулевой дискриминант, но это невозможно из-за нулевого свободного члена. 186 хочу познакомиться с лезбиянкой) Второй случай будет иметь место для большинства значений параметра а за исключением ситуаций, когда прямая пересекается с «отраженной» частью параболы. Точнее говоря, исключительные ситуации будут иметь место, когда прямая будет иметь точки пересечения с правыми ветвями «отраженной» и «неотраженной» частей хочу познакомиться с лезбиянкой. Это будет хочу познакомиться с лезбиянкой место начиная со случая, когда прямая будет проходить через точку (3; 0) и заканчивая случаем касания «отраженной» части параболы. Причем для крайних случаев будут иметь место ровно три точки пересечения, а между этими случаями — уже четыре точки. Найдем эти случаи: а) для точки х= 3: 0, 25-3^+3 = 0, а% = — 4; Ь) для точки касания с «отраженной» частью параболы: Из графика ясно, что из двух значений параметра а надо оставить я4= 12-6^7 «12-6-2, 65 =-3, 9. 4) Подведем итог анализа числа корней первого уравнения: 1) один корень: я = — 16 и а~ — 8; 2) три корня: а=-4иа = = 12 — 6л/7 ; 3) четыре корня: — 4 /7 ; 4) два корня — все остальные случаи. 5) Рассмотрим теперь второе уравнение с графической точки зрения. Ясно, что необходимо рассмотреть два случая для левой части уравнения: 90 187 которые определяют две гиперболы, «сливающиеся» на границе двух областей. Правая часть уравнения с графической точки зрения представляет собой пучок прямых, проходящи
х через начало координат. Из рисунка ясно, что каждая прямая имеет не менее одной и не более трех общих точек с графиком левой части уравнения. Причем для более «крутых» прямых с большими по модулю значениями будет иметь случай трех общих точек, а для менее «крутых» — случай лишь одной общей точки. Пограничными случаями являются точки касания, для которых соответствующее уравнение имеет два корня. Найдем эти случаи для левой и правых частей координатной плоскости. f* = ах \а 10 будут иметь место три хочу познакомиться с лезбиянкой, а для — 90 ) и отдельная точ — ка х = 4 / 5. Теперь обратимся к первому уравнению системы. Сразу заметим, что для х > 1 корней нет, так как/(1) = 8 и сумма коэффициентов перед х3 и лс2, равная 33, больше коэффициента 29 перед jc1. Таким образом, остается только одна возможность, когда х = 4 / 5. Проверим ее: 5 + 829+4О. 125 25 5 25 Но тогда подкоренное выражение во втором уравнении обращается в ноль. В результате это уравнение радикально упрощается: (у + 8-7)8″6’5 + 4>> + 2 = 5, или (. у + 1)1’5 = 3-4>>. Проанализируем получившееся уравнение: левая часть — монотонно возрастающая хочу познакомиться с лезбиянкой функция, которая определена начиная с у = — 1, когда принимает нулевое значение. Правая часть — монотонно убывающая линейная функция, которая в точке у = — 1 принимает значение, равное хочу познакомиться с лезбиянкой, значит, найдется единственное значение переменной у, когда обе части уравнения будут принимать равные значения. Таким образом, доказано существование единственной пары чисел (х, у), удовлетворяющей исходной системе уравнений. Замечание. Можно было найти корень первого уравнения подбором среди всех возможных вариантов рациональных корней вида х = р/ q, где р — делитель свободного слагаемого 4, a q — делитель коэффициента 15 перед старшей степенью х. Однако количество перебираемых вариантов оказывается весьма большим — хочу познакомиться с лезбиянкой. Главная проблема, которая возникает после определения первого корня уравнения х = 4 / 5, — это определение 192 другой возможной пары уравнения третьей степени, которое после разложения на множители приводится к виду (5х — 4)(3*2 + 6х — 1) = 0. Отсюда хорошо видно, что вторая пара корней оказывается иррацио — 2
нальной: х23 =-l±-j=r. Прямая подстановка этих выражений в подкоренное вьфажение оказывается затруднительной без его вышеописанного приведения к произведению двучленов. Задача 3, 27. (Июльский ЕГЭ 2007. ) Докажите, что система уравнений [ЗУ + 6(1 — у)2 + 27j; — 6 = х(/ + 2у2 + 2у)9 j{x»2) =0 имеет ровно три различных решения. 193 Решение. 1) Преобразуем второе уравнение с учетом ОДЗ к более удобному виду: 2′ -2 хочу познакомиться с лезбиянкой 0|(хочу познакомиться с лезбиянкой)log2x = oc-l 2) Для значений jc> 2 правая часть уравнения монотонно убывает как правая ветвь функции обратной пропорциональной хочу познакомиться с лезбиянкой. С другой стороны, левая часть уравнения является монотонно возрастающей логарифмической функцией. Значит, это уравнение имеет единственный корень на интервале (2; хочу познакомиться с лезбиянкой). 3) Рассмотрим теперь первое уравнение. После элементарных преобразований имеем Ъуъ + 6 у2 +15у = ху3 + 2ху2 + 2ху > = 0. 4) Так как имеется единственный корень по х, есть один корень по у9 необходимо найти еще два корня по у. Ясно, что эти корни могут быть у второго множителя этого уравнения: /(х-3) + 20^(х-3)(12-х)>0, что равносильно условию 3 l, 5, значит, в силу обратных монотонностей обеих частей уравнение действительно имеет единственный корень на промежутке (3; 4). Задача 3. 28. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4]. ) Найдите число решений системы уравнений Решение. 1) Приведем уравнения к стандартному виду с нулевыми правыми частями. Разложим на множители левые части уравнений: in2у2 — 8тсху +12х2 = (яу — 2х)(пу — 6х) = 0, \у2 — у (хочу познакомиться с лезбиянкой 2x — sin x) — sin x cos 2х = (у + sin x)(y хочу познакомиться с лезбиянкой cos 2x) = 0. Полученная система уравнений равносильна следующей совокупности: 2х 6х и п которая распадается на четыре независимых случая: А 2х.

Хочу познакомиться с лесбиянкой

Хочу познакомиться с лизбиянкой

Солженицына нашего выпуска на вступительных экзаменах по физике получили «пятерку». Уроки астрономии Исаич вел, пожалуй, еще увлеченнее, чем физики. Он трепетно относился к русской речи. Болезненно реагировал на ее искажение. Догадывались ли мы, что он — писатель? Нет, могу сказать определенно. Вообще его жизнь за школьным порогом была хочу познакомиться с лизбиянкой неведома. Мы знали о нем меньше, чем об иных учителях». (Исаич//Книжное обозрение, № 34, 24 августа 1990) КАВЕНДИШ В 1974 году, когда А. И. Солженицына выслали из СССР, его сыновьям было, соответственно, три года, полтора и шесть месяцев. Их детство проходило в лесистом северо-американском Математика в школе 1 Q / 2ООЭ штате Вермонт, где уединенно жила семья близ маленького городка Кавендиш, и где они учились в местной школе. Хочу познакомиться с лизбиянкой еще до американской школы началась их интенсивная учеба в школе домашней, одним из учителей которой был их отец. Он вспоминает об этих уроках в своих «Очерках изгнания»*: А вот, затеваю я с двумя старшими и занятия по хочу познакомиться с лизбиянкой. (. Учу сыновей — привезла Аля из России — по тем книгам, что и сам учился. ) Есть у нас и доска, прибитая к стенке домика, мел, ежедневные тетради и контрольные работы, все, что полагается. Вот не думал, что еще раз в жизни, но это уж последний, придется преподавать математику. А — сладко. Какая прелесть — и наши традиционные арифметические задачи, развивающие логику вопросов, а дальше грядет кристальная киселевская «Геометрия». А малыши первые годы росли на нашем участке как в русском заповеднике, Аля торопилась напоить их, хочу познакомиться с лизбиянкой выхода в американскую среду, русским языком, ежедневно читала им вслух, они рано пристрастились и к собственному чтению, и к стихам наизусть (свою большую библиотеку Аля привезла почти целиком из Москвы). А я с Ермолаем-Игнатом, соединенно, вел алгебру и геометрию, со Степой позже, отдельно. Стало ребятам от 7 до 10 — повел с ними физику и астрономию, и в конце августа, когда рано выступает звездное небо, водил их с горы и мимо пруда на единственную у нас открытую полянку, откуда можно было видеть распах звезд. Там разглядывали и запоминали созвездия и элементы математические, основные линии на небесной сфере, которые в другой день показывал на доске. Созвездия втягивали жадно. * Александр Солженицын. Угодило зернышко промеж двух жерновов: Очерки изгнания // Новый мир, 1998, № 9, 11; 1999, № 2; 2000, № 9, 12; 2001, № 4 2003 № 11 Занятия с сыновьями. Слева направо: Степан, Ермолай, Игнат. Кавендиш (Вермонт), лето 1980 г. Во все свободные детские дни — в каникулы хочу познакомиться с лизбиянкой когда хочу познакомиться с лизбиянкой или снежная буря останавливали ход школьных автобусов, — Аля снова и снова занималась с детьми русскими предметами, а я — математикой и физикой». («Угодилозернышко. ». Глава 6:Русская боль) В одном из интервью (2003) музыкант Игнат Солженицын так отозвался об учителе-отце: «Он замечательный педагог! Он один из самых лучших, а может быть, самый лучший учитель, с которым я встречался в жизни. Он обжигает, увлекает! Ты абсолютно не замечаешь времени, хочешь узнавать и узнавать дальше. Его урок хочу познакомиться с лизбиянкой на самое захватывающее приключение, как приключение Гекльберри Финна или Шерлока Холмса. Удивительно, как судьба хочу познакомиться с лизбиянкой людей: как будто не хватает его дара художника, общественного деятеля. Мои родители дали нам, братьям, прекрасное домашнее образование, привили нам главное: любовь к процессу узнавания». КОНСУЛЬТАЦИЯ ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ У КЛАССОВ, РАБОТАЮЩИХ ПО УЧЕБНИКУ «ГЕОМЕТРИЯ 7-Э» хочу познакомиться с лизбиянкой. С. АТАНАСЯНА И ДР. Окончание. Начало см. в № Э—2ОО9 Т. М. Мищенко (Москва) Глава III. Параллельные прямые Целью теста, рекомендованного для данной главы, является оперативная проверка компетентности хочу познакомиться с лизбиянкой седьмого класса по темам «Параллельные прямые». Задания теста направлены на проверку основных умений, формируемых при изучении темы: — распознавать на чертежах углы, образованные при пересечении двух прямых секущей; — непосредственно применять признаки параллельности прямых; понятия углов, образованных при пересечении двух хочу познакомиться с лизбиянкой секущей; аксиому параллельных прямых, следствия из нее; свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей; — вычислять градусную меру углов, применяя признаки параллельности прямых и свойства углов, образов�
�нных при пересечении параллельных прямых секущей. ТЕСТЗ I вариант Часть 1 1 Укажите угол, который образует с углом KLM пару односторонних хочу познакомиться с лизбиянкой. 1 Угол LKB. 2. Угол NMF. 3 Угол NKA. 4. Угол LMN. 2 Укажите угол, хочу познакомиться с лизбиянкой образует с углом KLM пару накрест лежащих углов. Хочу познакомиться с лизбиянкой Угол LKB. 2. Угол NMF. 3 Угол NKA. 4. Угол LMN. 3 Укажите угол, который образует с углом KLM пару соответственных углов. 1 Угол LKB. 2. Угол NMF. 3 Угол NKA. 4. Угол LMN. 16 Математика в школе 1O/2OO9 4 Дано: Zl + Z2 = 180°, Z3 * Z4. Определите, какие из трех хочу познакомиться с лизбиянкой с, d, f параллельны. l 2. c|d ||/; 3. c||/fd; 4. cf хочу познакомиться с лизбиянкой Два параллельные прямые пит пересечены секущей к. Определите взаимное расположение биссектрис накрест лежащих углов. Хочу познакомиться с лизбиянкой Биссектрисы перпендикулярны. 2 Биссектрисы пересекаются, но не перпендикулярны. 3 Биссектрисы параллельны. 4 Такая ситуация невозможна. а
Часть 2 6 Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О и распложены так, что прямые АВ и CD параллельны. Известно, что ZOAB = 32°, ZOBA = 28°. Найдите угол OCD. Ответ: Б
7 Прямые DK и GC параллельны, прямая FL — секущая. Найдите градусную меру угла хочу познакомиться с лизбиянкой, если угол GBL равен 64°. Ответ: 8 Параллельные прямые а и 6 пересечены секущей с. Найдите угол 1, если он в три раза меньше угла 2. Ответ: 9 Прямые DK и GC параллельны, прямая FL — секущая. Найдите градусную меру угла СВА, если сумма углов GBA и КАВ равна хочу познакомиться с лизбиянкой. Ответ: Консультация 10 Дано: Zl = 108°; Z2 = 72°; Z5 = 83°. Найдите угол 4. Ответ: 11 Прямые АС и BD пересекаются в точке О. В треугольниках ВОС и AOD: ВС = AD; ZBCO = = /LOAD. Найдите ВО, если BD = 6 см и АС = 9 см. Ответ: 12 В треугольнике ABC проведена биссектриса BD, которая пересекает сторону АС в точке D. Из точки D проведена прямая DF, которая пересекает сторону ВС в точке F так, что BF = FD. Найдите угол BDF, если ZABC = 84°.

Хочу познакомиться с лезбиянкой

Хочу познакомиться с мальчиком

на множители имеется 178 пятерок. На столько ж’е нулей и будет оканчиваться 720! , потому что двоек ‘в разложении хочу познакомиться с мальчиком! на множители, как легко посчитать, больше 178. 56 Из того, что 24= 19 + 5, 14= 19 — 5, получаем 24*977 + 141977 = (19 + 5)1977 + (19 — 5)1977 = 19 хочу познакомиться с мальчиком + 51977+ + 19 • В хочу познакомиться с мальчиком 51977 = 19 (А + В), где Л и В — некоторые натуральные числа. 57 Заметим, что 1978 —число вида 4& + 2, а 1979 — число вида 4& + 3, где k—натуральное число (в данном случае 494). Пусть D = Ъ2 — \ас = 4& + 2, тогда Ь2 делится на 2 и Ь делится на 2. Пусть Ь = 2/, тогда Ь2 = 4/2 и 4/2 — Аас = 4k + 2. Число, стоящее в левой части равенства, делится на хочу познакомиться с мальчиком, а число, стоящее в правой части равенства, не делится на 4. Получили противоречие. Пусть Ъ2—4ас = 4& + 3, тогда Ь2 хочу познакомиться с мальчиком и, значит, Ъ нечетное. Если Ь = 2т + 1, то D = 4т2 + 4т + 1 — 4ас = 4 (т2 + т — ас) + 1 = 4fe + 3. Снова получили противоречие. 58 Дискриминант не может принимать значения 2 и 3 (см. задачу 57). Но 0, 1 и 4 квадраты целых. Так как 7J 5 = 32 — 4 • 1 • 1 то 5 —дискриминант квадратного трехчлена х2 — Зх+ 1. Искомое число 5. 59 Обозначим [f п] через t. По определению / 1, тогда — 625. Обозначим [/г4] через а. Тогда п делится на а, а—1, а—2, а—3, а — 4. Из условия задачи следует, что п не меньше, чем наименьшее общее 72 кратное этих чисел, которое обозначим через d. Числа а, а — 1, а—2, а—3, а — 4 могут иметь в качестве общих делителей лишь числа 2, 3 и 4, поэтому d> 2-3-4 а(а— 1)(а— 2)(а— 3)(fl—4)- Имеем неравенство ^ а (а— \)(а — 2) (а — 3) (а — 4) (а — 4)6 ^ ^ 24 -^ 24 ^ (п^» _ 5)5 s^ 24 Если п>520, то п4 >5/г5. Для таких п _i _L JL 24 ^ 24 ^ 24 ^ ^» Получили противоречие. Значит, п 1. Получили противоречие. 63 Положим d равным минимуму разностей х—у, где х, у? Р и х>у. Пусть d = a — b, где {а; 6}с=Р, покажем, что а делится на d. Представим а в виде хочу познакомиться с мальчиком = sd + q, где 0 ^q 0. Поэтому Ы = (/ — г) sd + г {sd + d) = (t — г) а + rb g P. Покажем, наконец, что любое число х ? Р делится на d. Пусть x = pd + А, где 0 p + + (п — \)п\. Положим а0 = N\ + р, а± хочу познакомиться с мальчиком N\ + р + п\, a2 = Nl + p хочу познакомиться с мальчиком 2 (л! ), . , ? *„_! = М + р + (п — 1) (я! ). Очевидно, а0, хочу познакомиться с мальчиком . , an_i—арифметическая прогрессия с начальным членом хочу познакомиться с мальчиком +р и разностью п\. Докажем, что все 75 числа а0) av . , ап — составные. Действительно, так как при 0^k1 и, следовательно, uk — число составное. Теперь докажем, что при 0 1» делящее ak и ат. Тогда q делит и am—ak, но am—ak = [N\+p + m(n\)]— [Nl + р + k(n\)] = т. e. q делит (m — k) хочу познакомиться с мальчиком(n\). Поскольку l^m—kn и п\ делит М, то q делит и N\. Но q делит am = N\ + Р + /и (л! ). Следовательно, 9 делит и р. Но так как р простое, то q = р. С хочу познакомиться с мальчиком
стороны, р > п, а мы видели, что # делит одно из хочу познакомиться с мальчиком
1 2 , я, т. е. что q^n. Получили противоречие, которое и показывает, что числа а* и хочу познакомиться с мальчиком взаимно просты. Таким образом, мы построили арифметическую прогрессию а0, av . , ап_ь состоящую из составных чисел, все члены которой попарно взаимно просты. 67 Возьмем в качестве av a2f . , ал_3 произвольные четные числа, в качестве а„_2 — произвольное нечетное число. Тогда сумма квадратов этих чисел—нечетное число. Пусть а\+а\+ . +a5_2 = 2fe+l; положим а„_1 = k, ап = k + 1. Тогда а? + а2 + . + a«-i= 76 + 1 + k2 = (k + I)2 = al, т. е. построенная последовательность (av a2, . , an) удовлетворяет условию задачи. Ясно, что таким хочу познакомиться с мальчиком можно построить бесконечное число различных последовательностей. Так как наибольший общий делитель чисел ап-. \ = k и ап = k + 1 равен 1 то построенные последовательности попарно не пропорциональны. 68 Доказательство будем проводить с помощью метода математической индукции. При п = О наше утверждение очевидно: число 2 встречается в 0 (т. е. ни в одной) пифагоровых троек. Пусть наше утверждение верно для любого k^n. Тогда, е:ли (х, у у z)—пифагорова тройка, в которую входит число 2П+2, и числа х, у, z не взаимно просты, то числа имеют общий множитель 2 и f-|-, — у, -|-)—пифагорова тройка, в которую входит число 2n+1. По предположению индукции таких троек ровно п. Пусть теперь (*, у, z)— пифагорова тройка, числа х, у, z взаимно просты, и одно из них равно 2″+2. По хочу познакомиться с мальчиком х2 + у2 = z2. Поэтому, если z четно, то х и у нечетны. И следовательно, х2 и у2 при делении на 4 дают в остатке 1. Тогда х2 + у2 при делении на 4 дает в остатке 2, в то время как 22 делится на 4 без остатка. Получили противоречие. Следовательно, z нечетно и, в частности, z=? 2n+2. Но х2 = (z — y)хочу познакомиться с мальчиком(z + у), и если х = 2″+2, то х2 = 22″+4 = = (z—y)(z + y)> откуда 2 — y = 2k, z + у = 22″+4~* (О 1, то (2″+2, 22″+2 — 1, 22/1+2+ 1) —пифагорова тройка. Во втором случае 2=1 + 22″+2, у = 1 — 22″+2. Так как в последнем случае у 1 в первом случае *>#, а во втором—*1 и ? 2> I.

Хочу познакомиться с лизбиянкой

Хочу познакомиться с молодым человеком

ч/зТ/6. 216 21\/l5/10. 27/16 91/25 7/2 6
л/б(5 — \Л5)/Ю. 2a2/(9\/5cos). /^2 2+ч/2+\/3. 12/(13 + \/4T). ч/2Я/(ч/2+\/3). (
16 9(тг 1 + Зтг/2. 328 364 1/3 365 4\/2-%/3 + 2тг/3. 366 36 367 33 368 60/13 км. 369 (15/200) 370 Зх + 4у + 6z = 29. 371 arccos(6/7). 372 х G R. 373 — 3 — \/13 1/12. 387 — 2 388 x = 1, у = — 3/2; x = — 2, у = 3. 389 ж = 1, у = Iog32. 390 х = у = 4. 391 х = — 2, у = ±2. 392 х = 1/3, у = 1. 393 х = 81, у = 0. 394 х = ±4. 395 — 3 ^ х ^ 3. 396 — у/7 1. 410 х 0 при а = 0 корней нет. 416 х = 1/2, 25/2. 417 х = 3, 1/27. 418 х = 1/2, 1/16. 419 0 5. 421 094. 422 х=1/10, 10А 423 х = 16, 4. 424 хочу познакомиться с молодым человеком 9. 425 х = ±2тг/3 + 2тгп. 426 х = — тг/2 + 2тгп, (—1)^+1^/6 + ^. 427 Корней нет. 428 х = тг/2 + 2тгп. 429 х = ±arccos(-l/4) + 2тгп. 430 х = ±тг/3 + 27гп. 431 х = ±Зтг/4 + 2тгп. 432 х = тг/6 + 2тгп/3. 433 х = тг/2 + 2тгп, (-1)* arcsin(-l/3) + тгк. 434 х = (-1)п+17г/6 + тгп. 435 х = 2тгп. 436 х = 2тгп. 437 х = ±тг/3 + 2тгп. 438 х = 27гп, ±arccos(l/3) + 2тгА;. 439 х = ±2тг/3 + 2тгп. 440 х = ±arccos(l/5) + 2тгп. 441 х хочу познакомиться с молодым человеком (-1)птг/4 + 7гп. 442 х = ±5тг/6 + 2тгп. 443 х = (хочу познакомиться с молодым человеком)птг/4 + 7гп. 444 х = 2тгп/3. 445 х = ±тг/3 + 2тгп. 446 х = (-1)птг/6 + 7гп. 447 х = тг + 2тгп. 448 х = (-1)птг/6 + 7гп. 449 2тг/3. 450 а 2. 451 1 3. 453 х = (-1)птг/6 + 7гп. 454 х = — тг/2 -|- 2тгп. 455 х = 4. 456 х = — 3. 457 1/5 1. 458 — 1/3 ^ х 1/6. 488 х = — 1, 2/3. 489 ж 3 + \/3. 490 х = 1. 491 О /17 2а2 + а/2 при а а2/18 + а/2 при а ^ 0. -2 1. х> хочу познакомиться с молодым человеком ^. х^\ log2 3-1. х = ±тг/6 + тгп. х = ±тг/3 + тгп. х = ±тг/6 + тгп, ± arccos(-3/5)/2 + тгА;. х = ±тг/6 + тгп. х = (-1)п arcsin(l — V3) + тгп. х = (-1)п arcsin b^I + ^п. х = ± arccos ^»»2 + 2тгп. х = ± arccos ^bii х = (-1)п arcsin ± хочу познакомиться с молодым человеком = (-1)п arcsin х = (-1)п arcsin х = хочу познакомиться с молодым человеком(-1)п arcsin ж = ±2 arccos х = ± arccos х = Ц? arcsin х = ± arccos х = f n, хочу познакомиться с молодым человеком(-l)fc arcsin ^^ + тгА:. х = ±5тг/12 + тгп. Хочу познакомиться с молодым человеком = (-1)п arcsin(\/5/3) + тгп. х = (1 ± у/1 + 5тгп)/5, где п ^ 0. + 2тгп. 549 х = 330 550 х = (1 + \/5)/2. 551 х = i 552 х = 553 5 /Ш-8)/5. 555 х>(\/5-3)/2. 556 (7 — \/33)/2 ^ х 2л/3. 638 х = — 3. 683.

Хочу познакомиться с мальчиком